hdu 1907 John / 2509 Be the Winner 博弈最后取完者为输

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发布时间：2019-06-27

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原理引入：

取火柴的游戏

题目1：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根，

可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为胜，求必胜的方法。

题目2：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根，

可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为负，求必胜的方法。

嘿嘿，这个游戏我早就见识过了。小时候用珠算玩这个游戏：第一档拨一个，第二档拨两个，依次直到第五档拨五个。然后两个人就轮流再把棋子拨下来，谁要是最后一个拨谁就赢。有一次暑假看见两个小孩子在玩这个游戏，我就在想有没有一个定论呢。下面就来试着证明一下吧

先解决第一个问题吧。

定义：若所有火柴数异或为0，则该状态被称为利他态，用字母T表示；否则，

为利己态，用S表示。

[定理1]：对于任何一个S态，总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态。

[定理2]：T态，取任何一堆的若干根，都将成为S态。

[定理 3]：S态，只要方法正确，必赢。

[定理4]：T态，只要对方法正确，必败。

接着来解决第二个问题。

定义：若一堆中仅有1根火柴，则被称为孤单堆。若大于1根，则称为充裕堆。

定义：T态中，若充裕堆的堆数大于等于2，则称为完全利他态，用T2表示；若充裕堆的堆数等于0，则称为部分利他态，用T0表示。

由此，我们知道

S0 : a1^a2^...^an !=0 && 充裕堆为0（即全是孤单堆，而且显然是奇数个）必败。

T0: a1^a2^...^an =0 && 充裕堆为0(即偶数个孤单堆)，必胜。

S2: a1^a2^...^an !=0 && 充裕堆>=2 , 必胜。

T2:a1^a2^...^an =0 && 充裕堆>=2 , 必败。

S1: a1^a2^...^an !=0 && 充裕堆=1 , 必胜。

因此：必败态有， T2, S0, 必胜态有: S2,S1,T0.

孤单堆的根数异或只会影响二进制的最后一位，但充裕堆会影响高位（非最后一位）。一个充裕堆，高位必有一位不为0，则所有根数异或不为0。故不会是T态。

[定理5]：S0态，即仅有奇数个孤单堆，必败。T0态必胜。

[定理6]：S1态，只要方法正确，必胜。

证明：

若此时孤单堆堆数为奇数，把充裕堆取完；否则，取成一根。这样，就变成奇数个孤单堆，由对方取。由定理5，对方必输。己必胜。

[定理7]：S2态不可转一次变为T0态。

证明：

充裕堆数不可能一次由2变为0。得证。 #

[定理8]：S2态可一次转变为T2态。

证明：

由定理1，S态可转变为T态，态可一次转变为T态，又由定理6，S2态不可转一次变为T0态，所以转变的T态为T2态。 #

[定理9]：T2态，只能转变为S2态或S1态。

证明：

由定理2，T态必然变为S态。由于充裕堆数不可能一次由2变为0，所以此时的S态不可能为S0态。命题得证。

[定理10]：S2态，只要方法正确，必胜.

证明：

方法如下：

1） S2态，就把它变为T2态。（由定理8）

2）对方只能T2转变成S2态或S1态（定理9）

若转变为S2, 转向1）

若转变为S1, 这己必胜。（定理5）

[定理11]：T2态必输。

证明：同10。

综上所述，必输态有： T2,S0

必胜态： S2,S1,T0.

两题比较：

第一题的全过程其实如下：

S2->T2->S2->T2-> …… ->T2->S1->T0->S0->T0->……->S0->T0(全0)

第二题的全过程其实如下：

S2->T2->S2->T2-> …… ->T2->S1->S0->T0->S0->……->S0->T0(全0)

下划线表示胜利一方的取法。是否发现了他们的惊人相似之处。

我们不难发现(见加黑部分)，S1态可以转变为S0态（第二题做法），也可以转变为

T0（第一题做法）。哪一方控制了S1态，他即可以有办法使自己得到最后一根（转变为

T0）,也可以使对方得到最后一根（转变为S0）。

所以，抢夺S1是制胜的关键！

为此，始终把T2态让给对方，将使对方处于被动状态，他早晚将把状态变为S1.

hdu 1907

题目来源：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1907

John

Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65535/32768 K (Java/Others)

Total Submission(s): 2490 Accepted Submission(s): 1354

Problem Description

Little John is playing very funny game with his younger brother. There is one big box filled with M&Ms of different colors. At first John has to eat several M&Ms of the same color. Then his opponent has to make a turn. And so on. Please note that each player has to eat at least one M&M during his turn.

If John (or his brother) will eat the last M&M from the box he will be considered as a looser and he will have to buy a new candy box.

Both of players are using optimal game strategy. John starts first always. You will be given information about M&Ms and your task is to determine a winner of such a beautiful game.

Input

The first line of input will contain a single integer T – the number of test cases. Next T pairs of lines will describe tests in a following format. The first line of each test will contain an integer N – the amount of different M&M colors in a box. Next line will contain N integers Ai, separated by spaces – amount of M&Ms of i-th color.

Constraints:

1 <= T <= 474,

1 <= N <= 47,

1 <= Ai <= 4747

Output

Output T lines each of them containing information about game winner. Print “John” if John will win the game or “Brother” in other case.

Sample Input

3 5 1

Sample Output

John

Brother

代码如下：

#include
       
        #include
        
         #include
         
          #include
          
           #include
           
            #include
            
             #include
             
              #include
              
               #include
               #include
                
                 #define Inf 0x7fffffff // 0x 是数字0,而不是字母o#define N 15using namespace std;int sg[N];int main(){ int t,n,m; cin>>t; while(t--) { cin>>n; int x=0,unalone=0; for(int i=0;i
                 
                  >m; x^=m; if(m!=1) unalone++; } if((x==0 && unalone>=2) || (x&&unalone==0)) // 必败态 T2,S0 puts("Brother"); else puts("John"); } return 0;}

hdu 2509 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2509

分析：最后取玩苹果的为输，我们知道先手必输态 P_position 为 T2,S0

代码如下：

#include
       
        #include
        
         #include
         
          #include
          
           #include
           
            #include
            
             #include
             
              #include
              
               #include
               #include
                
                 #define Inf 0x7fffffff // 0x 是数字0,而不是字母o#define N 15using namespace std;int sg[N];int main(){ int t,n,m; while(cin>>n) { int x=0,unalone=0; for(int i=0;i
                 
                  >m; x^=m; if(m!=1) unalone++; } if((x==0 && unalone>=2) || (x&&unalone==0)) // 必败态 T2,S0 puts("No"); else puts("Yes"); } return 0;}